바이어슈트라스 함수

엡실론-델타 논법

함수의 극한 배울때 배우는 논법

이건 바이어슈트라스 함수(Weierstrass Function)

1. 바이어슈트라스 함수란?

이것이 바이어슈트라스 함수의 그래프이다

이건 뭐 술먹은 아재가 그려서 삐뚤빼뚤하게 된것도 아니고 뭔가 이게?

근데 여기서 주목해야할 점은 그래프의 모양이 아니라 이 함수의 속성이다

바이어 슈트라스 함수는 지금까지 발견된 함수 중 유일하게 모든 점에서 연속이지만 동시에 모든 점에서 미분이 불가능한 함수이기 때문이다

혹여나 이말을 이해하지못할 인간을 위해 설명충으로 둔갑해서 설명해주도록 하겠다

위의 짤 왼쪽 함수의 그래프를 보면 선이 전구간이 이어져있기때문에 이것을 연속적이다라고 표현하고, 이런 함수는 미분가능하지만

오른쪽 함수의 그래프는 연속적이기는 하지만 어느 한 부분에서(확대된부분) 뾰족한, 즉 매끄럽지못한 부분이 있어서 이 함수는 미분 불가능하다

오른쪽 함수와 같이 연속이지만 미분 불가능한 함수는 예시는 많다

대표적으로 y=|x| 꼴의 함수가 있다. 

이거는 고3도 알텐데 미분 불가능한 함수로서 많이 써먹는 예시 중 하나이다

위 그래프를 보면 알겠지만 x=0인 부분이 뾰족하므로 이 함수는 미분 불가능하다.

이렇게 연속이지만 미분불가능한 함수들은 많은데 

바이어슈트라스 함수는 조금 다르다.

바이어슈트라스 함수는 모든 점에서 미분이 불가능하기 때문이다

2. 모든 점에서 미분 불가능?

위의 gif 짤은 바이어 슈트라스 함수 그래프의 어떤 점을 계속 확대한 모습을 나타낸 것이다

보면 알겠지만 끝없이 울퉁불퉁하다

위에서 말했듯이 바이어슈트라스 함수는 모든 점에서 미분 불가능한 함수인데

이건 다시 말하자면 그래프의 모든 점이 뾰족하다는 얘기이다

즉 어떤 구간을 계속 확대해도 끝없이 매끄럽지 못한 부분이 나오며

위에서 y=|x| 를 예시로 든 그래프와는 달리 한 구간만 미분 불가능한 게 아니라 전 구간이 미분이 불가능한 기이한 함수이다

바이어슈트라스 함수가 모든 점에서 미분불가능하다는 사실은 위의 판정법대로 풀어보면 되는데

여기까지가면 님 머가리터질테니 자세한 내용은 생략하겟다

3. 이 함수가 갖는 의미

이 함수가 발견되기 전에는 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수는 없다 라는 생각이 정론이었는데 이 함수의 등장으로

그러한 논리는 반박되었기 때문에 중요하다고 볼 수 있다

이런 반례를 찾아내는 것도 어려운 일인데 바이어슈트라스 완전 천재셨노?

이전까지 많은 수학자들이 반례를 찾으려고 했는데 그게 너무 힘드니까 

'걍 최소한 어느 집합안의 구간에서만 미분 불가능한 함수나 찾아보자!' 하고 뻘짓하다가 바이어슈트라스가 마침

이런 완벽한 반례를 찾아내버렸으니 수학자들이 접한 충격은 가히 대단했다고 한다