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오늘은 뇌문도 일게이들을 위해 다항방정식의 근의 공식에 대해 설명해보려고 해!
물론 주구장창 수학적 설명만 늘여놓으면 스크롤 내리는 소리가 들리는 듯 하니까
방정식에 관련된 재밌는 일화도 같이 첨부하면서 글을 쓸 예정이야.
지난 일베 글과 마찬가지로 최대한 일게이들이 이해하기 쉽게 쓰도록 해볼게.
(참고로 이 글에서 방정식은 변수가 하나인 방정식만 소개하도록 함)
1. 일차방정식의 근의 공식
일차방정식은 아마 일게이들이 배운 최초의 방정식일거야. 초등학교, 더 빠르면 유치원때부터 배워.
"중학교때부터 배워서 ㅁㅈㅎ"라고 할 일게이들도 있을 것 같은데 초등학교때 배움..
다만 그때는 미지수가 x가 아니라, 네모로 표현되어 있을 뿐이지.
쉽게 말해
7 + □ = 11 같은 문제가 일게이들이 본 최초의 일차방정식인 셈.
일차방정식에 근의 공식 따위가 어디있냐고 ㅈㄹ하는 일게이들이 있을 것 같은데
사실 엄밀히 따지면 일차방정식에도 근의 공식은 존재해. 다만.. 거창한 근의 공식이란 이름 안붙여줘도
중학교 1학년만 되면 슥슥 풀리니까 그런 것일 뿐.
일차방정식은 데카르트계 좌표평면(이하 좌표평면)에서 직선으로 표현되기에 직선의 방정식이라고도 불려.
일차방정식의 해법은 간단해. (다 알고 있겠지만)
ax + b = 0의 꼴로 정리한 후 상수항(b)를 우변으로 넘기면
x = -b/a꼴로 정리할 수 있는데 이게 바로 일차방정식의 일반해지.
계수가 유리수인 방정식에선 허수가 절대로 근이 될 수 없는 유일한 다항방정식이지.
솔직히 쉬우니까 설명은 여기서 끝낸다.
2. 이차방정식의 근의 공식
정상적인 교육 과정을 이행한 일게이라면 이 방정식 역시 쉽게 풀 수 있을거야.
이때부터 근은 복소수가 될 가능성이 생기지.
일단 해법은 대부분 두가지야.
1. 인수분해가 될 경우
이런 꼴로 인수분해가 된다면 문제는 간단히 해결된다.
이 때의 근은 α 혹은 β. 근이 2개 존재하게 돼. (중근은 일단 넘어간다.)
α 혹은 β가 근이 되는 이유는 알지?
α 혹은 β가 근인 이유는 (x-α)≠0일 경우 (x-β)의 값은 항상 0이어야 저 등식이 성립하고
(x-β)≠0일 경우 (x-α)의 값 역시 위와 마찬가지로 0이어야 위 등식이 성립하게 되기 때문.
대부분 수능까지 나오는 이차방정식의 대부분은 출제진들이 이렇게 인수분해가 되는 이차방정식을 나누어주시니까
이 글 보고 있는 좆고 게이들은 감사하게 생각하자!
2. 인수분해가 되지 아니할 경우
인수분해가 되지 않으면 근의 공식을 쓸 수 밖에 없지.
사실 이차방정식의 일반해는 위의 꼴로 나타나는데 이것 역시 대부분의 일게이들이 알고 있을 거라 믿는다.
너무 유명해서 이 근의 공식에 관한 노래까지 있을 정도지.
하지만 의외로 저 근의 공식을 유도해보라고 하면 어리둥절하는 일게이들이 많아.
내가 추측컨대 (확실한건 아님)
근의 공식 유도 과정은 중학교 2학년때 잠깐 배우고
시간이 점차 지나면서 근의 공식을 유도하는 과정을 묻는 시험 문제가 싹 사라지기 때문에 그런 것 같아.
자, 각설 집어치우고 유도 과정을 보자!
에서 a는 0이 아니지? 그럼 양변을 a로 나누자.
양변을 나눈다면 식은
와 같이 되지. 그리고 상수항을 우변으로 이항해보자.
그리고 양변을 완전제곱식의 꼴로 변형해야 해. 일단 아래와 같은 적절한 수를 양변에 더해.
이렇게!
근데 좌변은 완전제곱식의 꼴로 "인수분해"가 가능해. (즉, 인수분해가 되는 꼴로 유도하는 거지)
.
이런 식을 얻을 수 있고 양변에 제곱근을 취하면
이 되고 좌변에 변수 x만 남겨놓고 나머지는 모두 우변으로 이항하면
와 같이 근의 공식이 유도돼.
솔직히 고딩 게이들이 이 글 보고 있으면서 그럴 린 없겠지만
'헐.. 유도 과정 까먹었는데.. 아 시발 다시 배워야 되나?' 라고 생각할 게이들을 위해 한마디 할게.
유도과정 굳이 안배워도 괜찮아. 수능에 안나오니깐! 수능에서 저렇게 근의 공식을 써서 답 나오게 하는 경우는 거의 없어.
다만 어려운 개념은 아니니까 봐두는 것도 나쁘진 않음.
3. 삼차방정식의 근의 공식
자! 여기서부터 대부분의 일게이들이 이해 못할거야... 시발.
당연한게 삼차방정식부터 근의 공식이 매우 복잡해지기 때문이야. 이차방정식도 일견 보면 복잡해보이지만
삼차방정식의 근의 공식에 비하면 아무것도 아니지.
일단 삼차방정식의 근의 유도 과정을 보면 일게이들이 대부분 스크롤 내릴거 같으니까 이때부터
방정식에 관한 재미있는 일화를 곁들여서 설명할테니 스크롤만 내리지 말아주셈 ㅠㅠ
사실 삼차방정식 그 자체는 고등학교 1학년때 배워. 하지만 그건 진정한 삼차방정식을 배우는 거라고 보기 힘든게
고등학교에서 나오는 삼차방정식 문제는 인수분해가 가능하게 주기 때문에
무늬만 삼차방정식이지, 문제 풀땐 그냥 이차방정식 또는 일차방정식 풀듯이 풀게 되지.
다만, 인수분해가 안되면 상당히 문제가 어려워지는데 아래에서 후술할게.
1. 인수분해가 될 경우
위에서 언급했듯이 일차방정식 또는 이차방정식 풀듯이 풀면 끝.
자세한 설명은 생략한다. 고등학교 교육 과정으론 전부 1번으로 풀리니까 걱정 ㄴㄴ
≠
으로 양변을 나눠.
![y = \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}](http://upload.wikimedia.org/math/7/c/d/7cd48de1be787e69e7c8df6b1902146f.png)
![y = \omega^k \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{3-k} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}, (k=0,1,2)](http://upload.wikimedia.org/math/7/c/2/7c29c4f116fa9698056bf8e07d3ec8cf.png)
정말 슬픈건 오늘날에도 이 해법은 "카르다노"의 해법으로 불린다는 거야.
타르틸리아 개불쌍...
4. 사차방정식의 근의 공식
고등학교 1학년때 삼차방정식과 같이 배우는 방정식이지만
역시 대부분 인수분해가 가능하거나 복이차방정식의 꼴로 주는 경우가 대부분이니까
진정한 사차방정식은 아니지. (방정식에 진정하냐 아니냐를 따지는 것도 웃기긴 하지만 내 표현으론 그랭)
자! 그럼 해법을 알아보자!
1. 인수분해가 될 경우
더 이상의 자세한 설명은 생략한다.
2. 복이차방정식일 경우
짝수 차항의 계수만 존재하는 4차방정식을 다른 말로 복이차방정식이라고 해.
(참고로 말하는데 0도 짝수니까 0이 아닌 상수항이 있어도 된다)
해법은 간단해. x^2을 X로 치환해서 이차방정식 풀듯이 풀면 됨.
더 이상의 자세한 설명은 생략한다.
3. 상반방정식일 경우
상반방정식이 뭐냐고 할 일게이들이 있을 것 같아 대답하는데
위 식과 같이 ax²을 기점으로 각 항의 계수가 똑같은 방정식을 상반방정식이라고 해.
이럴땐 유도하는 과정이 아래 4번보단 더 간편해.
양변을 x²으로 나누고 나서 x + 1/x로 치환하면
이차방정식의 꼴로 변형되거든? 그 후엔 이차방정식 풀듯이 풀면 끝.
4. 위의 경우가 아닐 경우 (근의 공식 유도)
솔직히 유도 과정은 아래 설명보다 훨씬 복잡해.
유도 과정 길게 적으면 스크롤 내릴테니까..
이 방정식에서 양변의 최고차항인 a로 나누고
x= y - b-4a라고 두자.
그러면 y4 + py² + qy +r = 0꼴로 정리가능.
여기에서 유도 과정이 좀 복잡한데 유도 과정은 생략할게.
(그래도 간단히 말하자면 4차항만 좌변에 남기고 나머지는 모두 우변으로 이항한 다음 적절한 값을 양변에 더하는데 좀 복잡해)
이렇게 되면
.
꼴로 정리가 되지. 근데 자세히 보면 이 사차방정식이 두개의 이차방정식으로 분해되지?
그러면 판별식을 써서 0이 되는 값을 찾아 z에 대한 방정식을 풀어내고 나면
이차방정식의 꼴로 정리 되는데 그 후엔 이차방정식 풀듯이 풀면 끝.
그러면 근의 공식이 나오게 돼.
이 사차방정식의 해법을 발견한 루도비코 페라리는 틈만 나면 쌈질에 도박질 하는 막장 일게이 인생을 살았어.
결국 자기 여동생한테 독살당해.
무슨 방정식의 저주도 아니고 ㅋㅋㅋㅋㅋ
5. 오차 이상 방정식의 근의 공식.
없다.
농담이 아니라 정말 없어. 발견을 못한게 아니라
아벨이란 수학자가 오차 이상의 다항방정식은 근의 공식을 유도할 수 없음을 증명했음.
논문 투고하면서 수학자들 피곤하게 하는 사람들 있는데 정말 내가 봐도 짜증난다.
다시 말하면 근의 공식을 발견 못한 게 아니라 발견 못함을 "증명"한거지.
증명해달라는 일게이들이 있을 것 같은데.. 미안하지만
증명 과정은 수학과에서도 2~3학년 쯤에 배우게 되는데다 체론이나 갈루아 이론 등
매우 깊은 배경지식을 요구하고 있기 때문에 증명은 생략할게.
참고로 근의 공식을 유도할 수 없다는 말이랑 해를 구할 수 없다는 말은 서로 달라.
타원 모듈함수를 이용하면 5차방정식의 일반해도 충분히 구할 수 있어.
이제 4차방정식에 대한 간단한 일화를 들려주자면..
닐스 헨리크 아벨이란 사람이 이걸 증명했어.
현재로서는 이견이 없는 증명이지만 당시만 해도
모든 다항방정식의 근의 공식을 유도할 수 있다는 믿음이 팽배했던 터라
(심지어 천재 수학자 가우스 마저도 이렇게 믿고 있었다..)
논문은 한마디로 무시됨..
아벨이 가우스에게도 이 논문을 투고했으나 가우스는
"뭐야 이 새낀.. 아마추어 수학자 새끼가 나대네 꺼져라" (물론 실제로 이렇게 말하진 않았겠징)
논문을 쓰레기통에 집어넣어버려.
그 후에 가난에 허덕이면서 여성 문제로 싸우던 아벨은 결국 26살에 죽게 되지.
더 비극적인 사실은 그 수학적 재능을 그나마 감지한 크렐레란 교수가
베를린 대학 수학 교수직을 주게 했는데 그게 아벨이 죽은 후 고작 며칠 후에 대학 교수 임명서가 도착했다는 것..
그리고 오차방정식을 일반적인 방법으로 풀 수 있는 조건에 대한 논문을 투고한 갈루아란 수학자가 있지.
얘는 어찌보면 아벨보다 더 불쌍..
갈루아가 대학 입시를 준비하다가 아버지가 목을 매서 자살하는 사건부터 시작해서
충격을 받은 갈루아는 시험을 잘 풀다가도 2차 면접 시험에서 면접관한테 칠판지우개를 던지는 위용을 보여버리지.
당연히 대학에 떨어졌음.
그 후에 갈루아는 일종의 예비학교에 입학하게 돼.
갈루아는 그 후 수학자에게 논문을 투고해달라며 논문을 맡기지만
그 수학자가 논문 투고하는걸 까먹어버림.
하다하다 안되니 이제 갈루아는 프랑스 왕립 과학원에 논문을 제출하지만..
이때는 논문 투고를 부탁받은 푸리에란 수학자가 몇주 후 병으로 사망하게 돼.
자연스레 논문도 분실잼ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
그 후, 갈루아는 예비 학교에서도 교장과의 정치적 논쟁으로 인해 퇴학 당하게 돼.
그 후 밥벌이를 위한 수단으로 수학 강의를 뛰게 되는데
갈루아는 마지막으로 푸아송이란 사람한테 논문 투고를 부탁하게 돼.
하지만.. 방정식의 저주가 있었는지 이번에도
아무런 소식이 없었어. 결국 존나 빡친 갈루아는
왕을 공개적으로 모욕하는 발언을 하게 되고 결국 재판을 받게 되지.
대놓고 왕을 모욕하는 발언을 하여 콩밥 먹게 될 위기에 처했지만
다행히도 변호사가 5개월간 논문 투고가 되지 않아 정상적인 정신 상태가 아니었으며 우발적이었다는 점을 들어
갈루아는 다행히 석방돼.
그렇지만.. 그 후 갈루아는 쌈질 처하다가 결국 9개월간 감방에 가게 돼.
그 후 콜레라로 투병 생활중 사망.
참으로 안습한 인생이 아닐 수 없지.
심지어 죽은 이후에도 인생이 불행했는데
나중에 그의 무덤은 프로이센 - 프랑스 전쟁에서 박살나서
강제부관참시를 당했다는 거야 ㅜㅜㅜㅜㅜ
갈루아란 사람의 흔적 자체가 싹 사라진 거지.
물론 갈루아나 아벨이나 나중에는 수학적 업적을 인정받게 되지만 생전에는 그러지 못했으니
이쯤 되면 뭐 문레기 새끼들이 타임머신 타고 과거로 돌아가 저주라도 건게 아닌가 싶어.