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학창시절 일게이들 수학 잘했노?
난 문레기다. 더 이상의 설명은 생략한다. 그렇다고 문레기 ㅈㅎ는 주지마라 정보게이 다 죽는다 이기야.
하튼 수학을 공부 했다면 문레기든 이과인이든 모든 수의 0제곱은 1이라는것은 알고 있을거야.
왜 인지는 머가리에 총맞지 않는 이상 알텐데 이 글 보고있을 문레기들을 위해 어차피 밑에 자세히 설명 할 거지만
세줄요약만 읽는 게이들을 위해 간단하게 짚고 넘어가자.
이렇게 이해하면 쉽노?? 존나 간단하다. 지수가 1이라고 한 숫자 두개를 나누면 0승이 된다.
즉 2를 x라 가정하고 어떤 수를 대입 하든간에 1이라는 값이 나온다. x가 1이든 100이든 10000이든 π이든 노무현이든
어떤 수를 대입해도 1이 된다. '단 0이 아닐시에만'
자 이제 여기서 오랜 수학자들의 고민이 함축 되어 있는 한가지 고민이 있다.
만약 0에 0제곱을 하면 어떠한 수가 나올까???
일단 보통 문레기식 노가다와 랜챗보빨남의 단순한 사고방식으로 보면 0의 0승은 1아님?? 모든 수의 0승은 1이라 했자나??
라고 지나치기 쉽다. 일단 그럼 하찬은 닝겐의 머갈통으론 이해하기 어려우니 컴퓨터한테 물어보자.
호옹이?!??!?
1이 나오노??
혹시 모를 컴퓨터 오류를 의심하며 엑셀 한테도 한번 물어봤다.
시발???
분명 같은 컴퓨터 cpu인데도 한놈은 1이라 하고 한놈은 계산 할 수 없다고 한다.
수학용 프로그램으로 잘 알려진 매스매티카(Mathmatica)에서도 0의 0승은 계산 할 수 없는, 정해지지 않은 으로 표시한다.
분명히 같은 회사에서 만든 프로그램인데도 값이 다르게 나오노...
그래서 직접 한번 증명해보자!!
일단 노베이스들을 위해 설명을 먼저 할게 있다.
먼저 '거듭제곱'이란 '거듭하여 자신을 곱한다'는 뜻이다. a가 수 일때, a를 n개 곱한 것을 a의 n승으로 나타내는데, 지수 n이
자연수일 때는 그 뜻이 분명하다. 따라서 이 표기법에 따르면 지수 n이 자연수인 한 당연히 0^0=0이 나와야 정상이다.
그럼 지수가 0이나 음수일때는?? a를 0개 곱하거나 -3개 뭐 이런식으로 하게 할수는 없으므로 곧이곧대로 정의 할 수는
없다. 따라서 '음수끼리 곱하면 양수'라는 문레기도 아는 설명을 했을 때와 마찬가지로, 어떻게 정의하는 것이 합리적인지
생각해 볼 필요가 있다.
위 공식은 m과 n이 자연수일때 성립하는 지수 법칙이다.
이 지수 법칙이 음의 지수에 대해서도 성립하도록 a^-3같은 것을 정의 하려면?? 등식을 다시 성립해보자.
양변을 a^5로 나눠주면, a^-3은 a^2/a^5임을 알 수 있다. 이 때 문제가 하나 있는데, 양변을 a^5으로 나누려면
이 숫자가 0이 아니어야 한다. 만약 a=0이라면 이런 논법이 통하지 않는다. a가 0이 아닐 때는 다음과 같다.
따라서, a^-3=1/3^3으로 생각하는게 합리적이다. 일반적으로는 a^-n=1/a^n으로 생각하는 것이 합리
적이다. 이 식의 양변에 a^n을 곱하면, a^n*a^-n=1이고, 좌변에서 지수법칙이 성립하면 a^n-n=a^0이 된다.
따라서 a^0은 1로 정의 하는 것이 가장 타당하다. 그런데, 이 경우엔 역시 음의 지수를 이용해서 설명했으
므로, a가 0이 아니라는 단서가 붙어야만 하므로, 이 결과로부터 0^0=1이라고 주장할 수는 없다. 오히려, 억
지로 a에 0을 대입하면 0^0=1은 커녕 다음과 같은 무의미한 식이 되어 버린다.
이렇게 음수와 0에 대해서도 지수를 정의해 주면(밑이 0일 때는 제외), 요시! 지수법칙 a^m*a^n=a^m+n이 여전
히 성립한다. 예를 들어, a^-3*a^-4=a^-7임을 확인 할 수 있다. 이렇게 해서 아까 위에서 간단히 넘어갔던 설명을
입증할 수 있다. 거듭제곱과 지수의 관계에 대한 이상의 설명에서
알 수 있듯이, 자연수 n에 대하여 0^n=0이고, 0이 아닌 수 a에 대하여 a^0=1이지만, 밑과 지수가 모두 0인 0^0에 대해서는
어떻게 해야 하노?
일단 다항식에서 0의 0제곱을 1로 두면 수식이 노무 간단해진다.
이런 김대중 쌀로 핵만들기보다 복잡한 문제도
이런식으로 간단히 할 수 있는데, 여기서 1차항 7x를 7x^1이라 쓰면 차수를 알 수 있으므로 일관성이
있다. 남아 있는 상수항 2는 0차항으로 생각하는것이 합리적이므로 2x^0이라 쓰는 것이 편리 하다.
원래 다항식에 x=0을 대입하면 당연히 값이 2인데, 차수를 밝혀준 식에 대입할 경우 0^0=1이어야 양변이
일치한다. 따라서 0^0=1이라고 보는 것이 합리적이다?!?
호옹이? 그래서 답은 1이노? 그래 이번엔 아르헨티나 공격수 이과인이 아닌 이과인을 위해 극한으로 생각해보자.
위 짤은 y=x^x의 그래프이다. 여기서 알 수 있듯이 x가 양수 쪽에서 0으로 접근하면 x의 x제곱은 1로 접근한다.
웃흥~ 이제 해결 됐노?? ㄴㄴ
모두가 그런 것은 아니어서, 극한 이론을 정립한 프랑스의 수학자 코시는 1821년에 쓴 저서에서 여전히 0의 0제곱은 정의 할 수 없는
것으로 분류하였다.
그러나
다음 짤을 먼저 보자
이것은 x가 0에 가까워질때 x의x제곱=1이라는 식을 확장한 것으로. 1830년대에 이탈리아의 수학자 리브리의 증명을
뫼비우스가 정리한 주장인데, 이 때 S라는 서명으로만 알려진 익명의 수학자로 반박을 당한다.
위 짤에서 a>1일 때, f(x)=a^(-1/x),g(x)=x라는 너무나도 간단한 함수를 반례로 제시한다.
계산을 해보면 f(x)^g(x)=(a^-1/x)^x=1/a이되어, a의 값을 바꿔줌에 따라 1보다 작은 모든 양수가 극한값이 될수 있으므로,
뫼비우스의 주장이 틀렸음을 바로 알 수있다.
결국 뫼비우스는 7대1로 강간당한 브라질마냥 익명의 수학자에게 강간당하고 진중권처럼 꼬리를 빼고 논문 목록에서도 빼버리고,
정의 할수 없다고 결론을 내려버린다.
그럼 뫼비우스만 털린 것일까?
가끔 a^0=1에 대하여 "거듭제곱은 1에 어떤 수를 곱하는 과정이다. 그런데 지수가 0이면 아무것도 곱하지 않았다는 뜻이므로 그
값은 1이 될 수밖에 없다'는 식으로 설명하는 닝겐들을 볼 수있다. 이것이 거듭제곱을 이해하는 한가지 방편일 수는 있겠으나, 엄밀히
말하면 앞뒤가 바뀐 설명이다. 거듭제곱을 이런 식으로 생각하는 것은 "a^0=1이므로 a^n은 지수법칙에 따라 1에 a를 n번 곱하는 것이다."
와 같은 말이된다. 즉, a^0=1을 가정한 상태에서 하는 설명이므로, 이로부터 a^0=1이 된다고 말하는 셈이다. 따라서 이런 설명을 이용해서 0의
0제곱은 1이라고 주장하는 것은 옳지 않다.
하 시발 그럼 답은 없는 거노? 그래서 고딩 때 수학 선생님한테 물어보자
"쓸데없는데 신경쓰지말고 공부나 해라."
라고 할 것이다.
정답이다.
아직도 0의 0제곱은 정의 하지 않고 건들지도 못하고 있다.
시벌 이렇게 수학자들이 존나게 팠는데도 결론은 정의하지 않는다.
잘 읽었노? 첫 정보글 좀 길지만 읽어줘서 고맙다. 세줄요약 성애자들을 위해 세줄요약
1.0의 0제곱은 정의하지 않는다.(그렇다고 값을 아직도 모른다는 말도 아닙니다. 자세한건 제 책에 나와 있습니다...)
2.그렇지만 '주의하여 사용한다면' 편의상 0의 0제곱은 1이라 할 수 있다.
3.이건 노짱의 잃어버린 두부 찾는거 만큼 어려운 일이다. 시발