리만 가설

수학 최대 난제로 손꼽히는 '리만 가설'을 살펴볼까해요

비 전공자들도 이해하기 쉽도록 최대한 수식적 표현은 자제하며

도대체 리만가설이 무엇인지 그 본질에 대하여 탐구해볼게요

'수' 라는 것은 특정 분야의 사람들만 사용하는것이 아닌

누구나 마찬가지로 일상에서 '수'라는 것과 공존하고있어요

하지만 이러한 자연수에서 특정 분야의 사람들만 사용하는 수의 집합이 있는데

그것은 바로 소수죠

소수라 함은 '1과 자기자신으로만 나누어지는 수' 라는것을

초등학교때부터 배웠을거에요

이러한 소수는 수학에서 '특별한 힘'을 가지게 되는데

그것은 '1보다 큰 모든 자연수는 유한개의 소수의 곱셈꼴로 표현 가능하다' 라는 

특별한 힘이죠

이것은 우리에게 '소인수분해'로 유명하죠

학창시절에 공부 1도 안해본 일게이들이라 할지라도 

소인수분해 만큼은 들어본 경험이 있고 , 대부분 할 줄 알거에요

과거 그리스의 수학자였던 에라토스테네스는 

이러한 소수의 매력에 빠져 자연수중에서 소수가 얼마나 되는지 구해보았어요

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , ...

그러던 와중 획기적인 방법을 개발해냈죠

'에라토스테네스의 체' 라고 불리는 이 방법은

n보다 작은 자연수 중 손쉽게 '소수' 만을 골라내는 것인데

그 방법론은 이러해요

우선 , n = 100일때 

가장 먼저 1을 제외시키고

소수라인업의 시작인 2를 분홍색으로 표시하여 보류시키고

2의 배수를 주황색으로 표시하여 제외시켜요

그 뒤에 등장하는 소수인 3을 분홍색으로 표시하여 보류시키고

3의 배수를 주황색으로 표시하여 제외시켜요 

"이와같은 방법을 계속할 때 제외되지 않은 수가 모두 소수이다."

이것이 곧 '에라토스테네스의 체' 라고 불리는

유일하고 간단한 소수를 찾는 방법이에요

사실 완벽함과 간결함 그리고 조금이라도 더 빠른 공식을 탐닉하기 위한

수학이라는 학문의 성격과는 완전히 정반대죠

명색이 숫자로 노가다뛰지 않기 위해서 만들어진게 '수학'이라는 학문인데 말이에요

잘 생각해봐

소수라인업의 초반부를 본다면 

2 , 3 , 5 , 7 ...

2씩 커져가는 규칙성을 가지는듯한데??

하지만 그 뒤에 오는 수는 불행히도 9가 아닌 11이죠

11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 .....

이처럼 그 어떤 규칙성도 발견할 수 없어요

'에우클레이데스의 원론' 으로 유명한 논증기하학의 아버지 유클리드는

이미 '소수의 존재는 무한하다' 라는 증명을 끝마쳤어요

즉 , 소수의 존재는 무한하지만

인류의 지식으로는 그 소수를 찾아내는데에 분명한 한계가 있다는거에요

에라토스테네스의 체 라는 방법론도 n이 커져갈수록

n 이하의 자연수중에서 소수만을 골라내는게 더욱 더 힘들어진다는 소리죠

또 그 어떤 규칙도 가지지 않기때문에

수학자들은 '소수'라는 집합을 어떤 간결한 공식으로도 나타낼 수 없었죠

오일러 상수 , 오일러 공식으로 유명한 스위스의 수학자 레온하르트 오일러

그는 소수에 무엇인가 엄청난 비밀이 숨겨져 있을거라 생각했고 ,

1부터 숫자를 차례대로 적어가며 '소수' 에만 동그라미 표시를 하는

엄청난 수학적 중노동을 하기 시작해요

주변인들은 그를 미치광이 or 정신병자라 비하했고 ,

그는 주변인들의 반응을 무시하고 소수의 규칙성에 주목하게 돼죠

하지만

오일러가 써내려간 소수에는 그 어떤 규칙성도 발견할 수 없었어요

무작위로 배열된 숫자에 불과했거든요

주변의 조롱과 비아냥에 외로운 생활을 하던 오일러는

한 수학문제를 풀던 도중 위와같은 계산을 만들어냈어요

소수만을 이용한 조금은 독특한 식이였는데

오일러는 이 식을 계산하면 과연 어떤 값이 될지 궁금증을 가졌고

그는 바로 계산해보았어요

그런데

그 식의 결과값은 놀랍게도 원주율과 관련이 있었어요

정확히 말하자면 원주율의 제곱을 6으로 나눈 값 이였죠

소수만의 불규칙성때문에

그 누구도 소수만을 이용한 식 에서 

이런 의미있는 결과가 나올거라 예상 못 했죠

이를 본 오일러는

"무질서한 소수들만의 식이 우주 극강의 미를 가진 원과 관련이 있었다

라며 환호했어요

이로써 오일러는 '소수'가 '우주의 법칙'과 연관되어 있을거란 

가능성을 제시한 최초의 인물이 되었죠

오일러의 발견으로부터 약 100년정도 지난 19세기 중반

베른하르트 리만은 오일러의 식에 착안하여

'리만 가설'이라는 수학 괴물을 낳게되는데

그의 상상력이 상당히 심오하고 괴이해요

우선, 리만은 소수에 좀 더 수학적으로 엄밀한 의미부여를 하기 위해

소수들만으로 이루어진 오일러의 식에 착안하여

제타(ζ) 함수라는 위와같은 수식을 만들어내죠

이 함수를 풀어서 쓰면 

이런 형태가 되어버리는데

이 함수는 바로 오일러의 식 에서

지수 부분의 2를 x로 전부 바꾼것이죠

리만은 여기서 멈추지 않고

제타함수의 그래프를 3차원 공간에 구현시켰어요

바로 이 그래프가 리만가설의 존재 이유죠

 

리만은 제타 함수의 값을 계산해내어

그래프의 높이가 0이 되는 지점을 '제로점' 이라 설정했는데

이 제로점은 리만가설의 가장 본질적인 부분이에요

리만의 예상은 상당히 단순했어요

"제타함수는 소수만으로 이루어진 불규칙한 함수이므로

그 그래프의 제로점 또한 불규칙 할 것이다."

그렇게 리만은 계산을 하기 시작했고 , 

순차적으로 4개의 제로점을 발견해낸 리만은 그 결과에 놀라움을 감추지 못 했어요

그 이유는 바로

4개의 제로점이 모두 일직선상에 위치해있던것..

리만은 도무지 결과를 믿을 수 없었어요

그는 더욱 많은 제로점을 찾아서 나머지 제로점들도

일직선상에 위치해있는지 확인하고 싶었으나

4번째 제로점 이상부터는

그 수가 급격하게 커져 도무지 계산할 수 없는 경지에 이르렀지요

소수는 무질서한데에 비해

소수만으로 이루어진 제타함수 그래프상에서의 제로점은 정확한 규칙성을 갖고있었어요

"어쩌면 아직 발견되지 않은 다른 제로점들또한 모두 일직선상에 위치해있지 않을까?"

이러한 리만의 직감이 곧 리만가설이 되었고 , 전세계의 천재들을 지독하게 괴롭히는 중이죠

"제타함수의 비자명적인 제로점은 모두 일직선상에 있다"

이 말을 쉽게쓰면 제타함수의 제로점은 모두 일직선상에 위치하게 될 것이고

이는 곧 도저히 불가능해보였던 '소수의 규칙성'을 찾는데에 큰 획을 긋게 되는거죠

이렇게 그는 '리만가설' 이라는 현대수학 최대의 난제를 낳게 돼요

리만가설의 아성에 처음 도전장을 내민 이들은

20세기 초 영국의 두 젊은 천재수학자

고드프리 하디 & 존 리틀우드 콤비였어요

이들은 참신한 방법으로 리만가설의 증명에 성공해냈어요

그런데 왜 아직도 '리만가설'이 난제로 불리냐구?

하디의 증명은 정확했어요

무한한 제로점이 일직선상에 위치할것이란 리만의 가설을 완벽히 증명했지만

변수를 고려하지 못했죠

직선 밖에 제로점이 존재하지 않는다는것을 증명할 수 없었어요

그렇게 그들은 리만가설의 아성에 큰 패배와 함께 수치심을 얻게되고

이후에는 '리만가설'자체를 거짓이라 부정하며 모든 연구자료를 불태워버리죠

이것을 시작으로 많은 수학자들의 인생을 송두리째 뺏어간게

바로 '리만가설'이에요

리만가설의 아성에 자신있게 도전했던 수학자들은 너무나도 그 사고가 복잡하여

정신분열증을 앓게되거나 반쯤 미쳐버리고 혹은

도무지 풀 수 없다고 생각한 이들은 아예 부정해버리기 시작하죠

이를 본 수학계에서는 암묵적으로 리만가설에 대한 연구를 금지시켰고

리만가설을 연구한다는 소문이 돌면 그 수학자는 미치광이 소리 듣기 일쑤였어요

이후에 클레이 수학 연구소에서 선정한 세계 7대 수학난제에 당당히 이름을 올려

현재까지도 많은 위대한 수학자들의 인생을 송두리째 앗아가는중이죠